ریاضی نهم صفحه ۱۳۵ - فعالیت ۱
۱- اگر چند ضلعی قاعده، یک چند ضلعی منتظم باشد و وجههای جانبی با هم، همنهشت باشند، هرم را منتظم میگوییم. در این صورت اگر قاعده، مرکز تقارن داشته باشد، پای ارتفاع (نقطهٔ برخورد ارتفاع و قاعده) روی مرکز تقارن میافتد.
در هرم منتظم مقابل، نام رأس: __________ ارتفاع: __________
شکل قاعده: __________ شکل وجههای جانبی: __________ تعداد وجهها: __________
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۳۵ - فعالیت ۱
در این بخش میخواهیم با ویژگیهای یک **هرم منتظم** آشنا شویم. هرم شکلی فضایی است که یک قاعده چندضلعی دارد و تمام وجههای جانبی آن مثلثهایی هستند که در یک نقطه به نام **رأس** به هم میرسند.
**تجزیه و تحلیل تصویر:**
با توجه به شکل هرم $OABCD$ که در تصویر آمده است، میتوانیم اطلاعات را به این صورت کامل کنیم:
* **نام رأس:** نقطهٔ **$O$** که بالاترین نقطه هرم است و تمام مثلثهای جانبی به آن ختم میشوند.
* **ارتفاع:** پارهخط **$OH$**؛ ارتفاع همیشه از رأس بر مرکز قاعده عمود میشود.
* **شکل قاعده:** با توجه به چهارضلعی بودن پایین شکل، قاعده یک **مربع** (یا چهارضلعی منتظم) است.
* **شکل وجههای جانبی:** تمام وجههای دور تا دور هرم به شکل **مثلث متساویالساقین** هستند که با هم همنهشت (برابر) میباشند.
* **تعداد وجهها:** این هرم دارای **۵ وجه** است (۱ قاعده در کف و ۴ مثلث در اطراف).
**نکته آموزشی:** در یک هرم منتظم، تمام یالهای جانبی با هم برابرند و اگر هرم را از بالا نگاه کنید، رأس دقیقاً در مرکز قاعده دیده میشود.
ریاضی نهم صفحه ۱۳۵ - فعالیت ۲
۲- الف) با توجه به شکلها و اطلاعات داده شده به نظر شما حجم کدام هرم بیشتر است؟ در شکلهای (۱) و (۲) مثلثهای قاعده همنهشتاند.
$O'H' < OH \Rightarrow V' \bigcirc V$
در شکلهای (۳) و (۴) ارتفاعها برابر است.
$O'H' = OH$ و $S_{ABC} < S_{A'B'C'} \Rightarrow V' \bigcirc V$
ب) به نظر شما حجم هرم به چه مقادیری وابسته است؟
ج) برای محاسبهٔ مساحت مثلث از چه مقادیری استفاده میکردید؟ برای محاسبهٔ حجم هرم چه حدسی میزنید؟
د) اگر دو هرم دارای قاعدههایی با مساحت مساوی و ارتفاعهای مساوی باشند، دربارهٔ حجمهای آنها چه میتوانید بگویید؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۳۵ - فعالیت ۲
در این فعالیت میخواهیم به صورت مفهومی درک کنیم که چه عواملی بر **حجم یک هرم** تاثیر میگذارند.
**حل گام به گام:**
* **بخش الف (مقایسه):**
* در مورد اول (۱ و ۲)، چون قاعدهها یکسان هستند اما ارتفاع هرم دوم بیشتر است ($OH > O'H'$)، پس حجم هرم دوم بیشتر است: **$V' < V$**.
* در مورد دوم (۳ و ۴)، چون ارتفاعها برابرند اما مساحت قاعده هرم $A'B'C'$ بزرگتر است، پس حجم آن بیشتر است: **$V' > V$**.
* **بخش ب (عوامل موثر):**
با توجه به مقایسههای بالا، حجم هرم به دو مقدار وابسته است: **مساحت قاعده ($S$)** و **اندازه ارتفاع ($h$)**.
* **بخش ج (حدس فرمول):**
ما برای مساحت مثلث از رابطه $$\frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع}$$ استفاده میکردیم. برای حجم هرم، حدس میزنیم رابطهای شبیه به حجم استوانه داشته باشد اما با یک ضریب کسر، زیرا هرم فضای کمتری نسبت به یک منشور همقاعده خود اشغال میکند. (در واقع حجم هرم برابر $$\frac{1}{3} S \times h$$ است).
* **بخش د (نتیجهگیری):**
اگر دو هرم دارای مساحت قاعده و ارتفاع کاملاً برابر باشند، طبق اصول ریاضی **حجم آنها با هم برابر خواهد بود**، حتی اگر شکل ظاهری قاعدههایشان متفاوت باشد (مثلاً یکی مربع و دیگری مثلث با مساحت یکسان باشد).
